Симетрійний аналіз одного класу (2+1)-вимірних лінійних ультрапараболічних рівнянь

Методами групового аналізу диференціальних рівнянь досліджується один клас (2+1)-вимірних лінійних ультрапараболічних рівнянь другого порядку, який включає в себе як частинні випадки такі класичні рівняння математичної фізики, як вільне рівняння Крамерса, лінійне рівняння Колмогорова тощо. Класифікація симетрійних властивостей диференціальних рівнянь із досліджуваного класу проводиться за класичним алгоритмом Лі–Овсяннікова. На першому кроці знаходиться ядро максимальних алгебр інваріантності (МАІ) досліджуваних диференціальних рівнянь. Доводиться, що воно є тривимірним, а також формулюється теорема про “мінімальну” МАІ диференціального рівняння з досліджуваного класу. На другому кроці знаходиться група перетворень еквівалентності класу рівнянь. Спочатку інфінітезимальним методом обчислюється група неперервних перетворень еквівалентності, яка потім доповнюється до повної групи двома дискретними перетвореннями. На третьому кроці в результаті аналізу системи визначальних рівнянь формулюється теорема, яка дає необхідні умови розширення “мінімальної” МАІ, а саме доводиться, що функціональний параметр, який входить до складу досліджуваного класу диференціальних рівнянь, повинен бути розв’язком одного із двох рівнянь Ріккаті. Розглянуто три приклади диференціальних рівнянь, які задовольняють необхідні умови розширення “мінімальної” МАІ. Для всіх рівнянь знайдено МАІ; показано, що серед розглянутих прикладів найширші симетрійні властивості має лінійне рівняння Колмогорова.

Рік видання: 
2014
Номер: 
4
УДК: 
517.958:512.816
С. 102–107.Бібліогр.: 14 назв.
Література: 

1. A.N. Kolmogoroff, “Zur Theorie der stetigen zufallingen Prozesse”, Math. Ann., vol. 108, no. 1, pp. 149—160, 1933.
2. A.N. Kolmogoroff, “Zufallige Bewegungen (Zur Theorie der Brownischen Bewegung)”, Ann. Math., vol. 35, no. 2, pp. 116—117, 1934.
3. E. Barucci et al., “Some results on partial differential equations and Asian options”, Math. Models Methods Appl. Sci., vol. 11, pp. 475—497, 2001.
4. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. — М.: Мир, 1986. — 528 с.
5. Risken H. The Fokker—Planck equation. Berlin: Springer, 1989, 472 p.
6. W.M. Shtelen and V.I. Stogny, “Symmetry properties of oneand two-dimensional Fokker—Planck equations”, J. Phys. A: Math. Gen., vol. 22, pp. 539—543, 1989.
7. E.A. Saied, “On the similarity solutions for the free Kramers equation”, Appl. Math. Comp., vol. 74, pp. 59—63, 1996.
8. E. Lanconelli and S. Polidoro, “On a class of hypoelliptic evolution operators”, Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. Torino, vol. 52, pp. 29—63, 1994.
9. Спічак С.В., Стогній В.І., Копась І.М. Симетрійний аналіз і точні розв’язки лінійного рівняння Колмогорова // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2011. — № 4. — С. 93—97.
10. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 400 c.
11. Лагно В.І., Спічак С.В., Стогній В.І. Симетрійний аналіз рівнянь еволюційного типу. — К.: Ін-т математики НАН України, 2002. — 360 с.
12. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Физматлит, 2001. — 576 с.
13. J.G. Kingston and C. Sophocleous, “On form-preserving point transformations of partial differential equations”, J. Phys. A: Math. Gen., vol. 31, pp. 1597—1619, 1998.
14. R.O. Popovych et al., “Admissible transformations and normalized classes of nonlinear Schrodinger equations”, Acta Appl. Math., vol. 109, pp. 315—359, 2010.

Список літератури у транслітерації: 

1. A.N. Kolmogoroff, “Zur Theorie der stetigen zufallingen Prozesse”, Math. Ann., vol. 108, no. 1, pp. 149–160, 1933.
2. A.N. Kolmogoroff, “Zufallige Bewegungen (Zur Theorie der Brownischen Bewegung)”, Ann. Math., vol. 35, no. 2, pp. 116–117, 1934.
3. E. Barucci et al., “Some results on partial differential equations and Asian options”, Math. Models Methods Appl. Sci., vol. 11, pp. 475–497, 2001.
4. Gardiner K.V. Stokhasticheskie metody v estestvennykh naukakh. – M.: Mir, 1986. – 528 s.
5. Risken H. The Fokker–Planck equation. Berlin: Springer, 1989, 472 p.
6. W.M. Shtelen and V.I. Stogny, “Symmetry properties of one- and two-dimensional Fokker–Planck equations”, J. Phys. A: Math. Gen., vol. 22, pp. 539–543, 1989.
7. E.A. Saied, “On the similarity solutions for the free Kramers equation”, Appl. Math. Comp., vol. 74, pp. 59–63, 1996.
8. E. Lanconelli and S. Polidoro, “On a class of hypoelliptic evolution operators”, Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. Torino, vol. 52, pp. 29–63, 1994.
9. Spichak S.V., Stohniĭ V.I., Kopas′ I.M. Symetriĭnyĭ analiz i tochni rozvi͡azky liniĭnoho rivni͡anni͡a Kolmohorova // Naukovi visti NTUU “KPI”. – 2011. – # 4. – S. 93–97.
10. Ovsi͡annikov L.V. Gruppovoĭ analiz different͡sial'nykh uravneniĭ. – M.: Nauka, 1978. – 400 s.
11. Lagno V.I., Spichak S.V., Stohniĭ V.I. Symetriĭnyĭ analiz rivni͡an′ evoli͡ut͡siĭnoho typu. – K.: In-t matematyky NAN Ukraïny, 2002. – 360 s.
12. Zaĭt͡sev V.F., Poli͡anin A.D. Spravochnik po obyknovennym different͡sial'nym uravnenii͡am. – M.: Fizmatlit, 2001. – 576 s.
13. J.G. Kingston and C. Sophocleous, “On form-preserving point transformations of partial differential equations”, J. Phys. A: Math. Gen., vol. 31, pp. 1597–1619, 1998.
14. R.O. Popovych et al., “Admissible transformations and normalized classes of nonlinear Schrodinger equations”, Acta Appl. Math., vol. 109, pp. 315–359, 2010.

Текст статтіРозмір
2014-4-17.pdf206.03 КБ