Строго сингулярні збурення рангу один несиметричним потенціалом

Розглядаються побудова і задача на власні значення сильно сингулярно рангу один збуреного самоспряженого оператора несиметричним потенціалом. А саме: розглядаються збурення вигляду , де – самоспряжений напівобмежений оператор і , . Такі збурення мають застосування у теорії диференціальних рівнянь із аргументом, що має запізнення. Відповідні диференціальні рівняння є результатом моделі теорії керування, зокрема в електричних ланцюгах. Розгляд проводиться методами теорії операторів, зокрема з використанням теорії розширень щільно визначених симетричних операторів до самоспряжених. Оскільки в результаті отримується не самоспряжений оператор, то в розгляді побудови задіяні два симетричних оператори, які є звуженнями початкового оператора. Ці звуження породжені різними векторами негативного простору . Наявність різних векторів і є основною відмінністю запропонованого матеріалу від попередніх досліджень, у яких збурений оператор також був самоспряженим. Також відмінною рисою від попередніх публікацій є той факт, що ми розглядаємо збурення класу (раніше розглядались збурення класу ). Проблема опису розв’язується аналогічно до того, як розв’язана у випадку строго сингулярних збурень симетричними потенціалами. Опис дається мовою резольвент збуреного і незбуреного операторів, які поєднані у формулу, що є аналогом формули Крейна. Також у роботі досліджується точка точкового спектра, яка з’являється в оператора

Рік видання: 
2014
Номер: 
4
УДК: 
517.9
С. 13–16., Бібліогр.: 8 назв.
Література: 

1. S. Albeverio and P. Kurasov, “Singular perturbations of differential operators. Solvable Schrцdinger type operators”, in London Math. Soc. Lecture Note Series, Cambridge: Cambridge University Press, 2000, vol. 271, xiv+429 pp.
2. S. Albeverio et al., Solvable models in quantum mechanics, 2nd ed., AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2005, xiv+488 pp.
3. Кошманенко В.Д., Дудкін М.Е. Метод оснащених просторів у теорії сингулярних збурень самоспряжених операторів. — К.: Ін-т математики НАНУ, 2013. — 320 c.
4. T. Kato and J.B. McLeod, “The functional-differential equation y′(x) ay (λx) by (x) ”, Bull. Amer. Math. Soc., vol. 77, pp. 891—937, 1971.
5. V. Koshmanenko, Singular quadratic forms in perturbation theory (translated from the 1993 russian original by P.V. Malyshev and D.V. Malyshev), Mathematics and its Applications, vol. 474, pp. viii+308, 1999.
6. L.P. Nizhnik, “On rank one singular perturbations of selfadjoint operators”, Ibid, vol. 7, no. 3, pp. 54—66, 2001.
7. M.M. Malamud and V.I. Mogilevskii, “Kreĭn type formula for canonical resolvents of dual pairs of linear relations”, Methods Funct. Anal. Topology, vol. 8, no. 4, pp. 72— 100, 2002.
8. T.V. Karataeva and V.D. Koshmanenko, “Generalized sum of operators”, Math. Notes, vol. 66, no. 5-6, pp. 556— 564, 2000.

Список літератури у транслітерації: 

1. S. Albeverio and P. Kurasov, “Singular perturbations of differential operators. Solvable Schrödinger type operators”, in London Math. Soc. Lecture Note Series, Cambridge: Cambridge University Press, 2000, vol. 271, xiv+429 pp.
2. S. Albeverio et al., Solvable models in quantum mechanics, 2nd ed., AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2005, xiv+488 pp.
3. Koshmanenko V.D., Dudkin M.E. Metod osnashchenykh prostoriv u teoriï synhuli͡arnykh zburen′ samospri͡az͡henykh operatoriv. – K.: In-t matematyky NANU, 2013. – 320 s.
4. T. Kato and J.B. McLeod, “The functional-differential equation ”, Bull. Amer. Math. Soc., vol. 77, pp. 891–937, 1971.
5. V. Koshmanenko, Singular quadratic forms in perturbation theory (translated from the 1993 russian original by P.V. Malyshev and D.V. Malyshev), Mathematics and its Applications, vol. 474, pp. viii+308, 1999.
6. L.P. Nizhnik, “On rank one singular perturbations of selfadjoint operators”, Ibid, vol. 7, no. 3, pp. 54–66, 2001.
7. M.M. Malamud and V.I. Mogilevskii, “Kreĭn type formula for canonical resolvents of dual pairs of linear relations”, Methods Funct. Anal. Topology, vol. 8, no. 4, pp. 72–100, 2002.
3. T. V. Karataeva and V. D. Koshmanenko, “Generalized sum of operators”, Math. Notes, vol. 66, no. 5-6, pp. 556–564, 2000.

Текст статтіРозмір
2014-4-2.pdf212.15 КБ