Достатні умови ергодичності розв’язків абстрактних лінійних диференціальних рівнянь другого порядку

Розглянуто абстрактні лінійні диференціальні рівняння другого порядку в банаховому просторі. Для таких рівнянь ставиться задача Коші і досліджується поведінка розв’язків цієї задачі при Досліджено ергодичність та асимптотичну поведінку розв’язків сильно коректної задачі Коші. Для цього було використано теорію повних лінійних диференціальних рівнянь другого порядку в банахових просторах, розроблену Фатторіні. Показано, що для широкого класу рівнянь розв’язки задачі Коші є або ергодичними, або необмеженими, залежно від початкових умов. Отримано умови на лінійні оператори-коефіцієнти диференціального рівняння та початкові умови задачі Коші, за яких розв’язки є ергодичними. У випадку ергодичності розв’язків наведено конкретні значення ергодичних границь, а у випадку необмеженості розв’язків описано їх асимптотичну поведінку. Отримані результати узагальнюють відомі раніше результати щодо ергодичності розв’язків задачі Коші для неповних рівнянь другого порядку.

Рік видання: 
2014
Номер: 
4
УДК: 
517.98
С. 22–25.
Література: 

1. E. Hille and R.S. Phillips, Functional Analysis and SemiGroups. Providence: Amer. Math. Soc., 1957, 808 p.
2. Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения. — К.: Выща шк., 1989. — 348 с.
3. J.A. Goldstein et al., “Convergence rates of ergodic limits for semigroups and cosine functions,” Semigroup Forum, vol. 16, pp. 89—95, 1978.
4. S.-Y. Shaw, “Mean and pointwise ergodic theorems for cosine operator functions,” Math. J. Okayama Univ., vol. 27, is. 1, pp. 197—203, 1985.
5. R. Sato and S.-Y. Shaw, “Strong and uniform mean stability of cosine and sine operator functions,” J. Math. Anal. Appl., vol. 330, is. 2, pp. 1293—1306, 2007.
6. S.-Y. Shaw, “Growth order and stability of semigroups and cosine operator functions,” J. Math. Anal. Appl., vol. 357, is. 2, pp. 340—348, 2009.
7. Горбачук М.Л., Кочубей А.Н., Шкляр А.Я. О стабилизации решений дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве // Докл. акад. наук. — 1995. — 341, № 6. — С. 734—736.
8. Горбачук М.Л., Шкляр А.Я. О поведении на бесконечности решений дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. — 1996. — Вып. 19. — С. 174—201.
9. Горбатенко Я.В. Ергодичність розв’язків абстрактних лінійних диференціальних рівнянь другого порядку в банаховому просторі // Доп. НАН України — 2010. — № 9. — С. 10—19.
10. H.O. Fattorini, Second Order Linear Differential Equations in Banach Spaces. Amsterdam: Elsevier Science Publishers B.V., 1985, 314 p.
11. T.J. Xiao and J. Liang, “On complete second order linear differential equations in Banach spaces,” Pacific J. Math., vol. 142, is. 1, pp. 175—195, 1990.
12. Горбатенко Я.В. Розв’язність і сильна коректність задачі Коші для абстрактних лінійних диференціальних рівнянь у банахових просторах // Наук. вісті НТУУ “КПІ”. — 2010. — № 4. — С. 40—43.

Список літератури у транслітерації: 

1. E. Hille and R.S. Phillips, Functional Analysis and Semi-Groups. Providence: Amer. Math. Soc., 1957, 808 p.
2. Goldsteĭn Dzh. Polugruppy lineĭnykh operatorov i ikh prilozhenii͡a. – K.: Vyshcha shk., 1989. – 348 s.
3. J.A. Goldstein et al., “Convergence rates of ergodic limits for semigroups and cosine functions,” Semigroup Forum, vol. 16, pp. 89–95, 1978.
4. S.-Y. Shaw, “Mean and pointwise ergodic theorems for cosine operator functions,” Math. J. Okayama Univ., vol. 27, is. 1, pp. 197–203, 1985.
5. R. Sato and S.-Y. Shaw, “Strong and uniform mean stability of cosine and sine operator functions,” J. Math. Anal. Appl., vol. 330, is. 2, pp. 1293–1306, 2007.
6. S.-Y. Shaw, “Growth order and stability of semigroups and cosine operator functions,” J. Math. Anal. Appl., vol. 357, is. 2, pp. 340–348, 2009.
7. Gorbachuk M. L., Kochubeĭ A.N., Shkli͡ar A. I͡A. O stabilizat͡sii resheniĭ different͡sial'nykh uravneniĭ v gil'bertovom prostranstve // Dokl. akad. nauk. – 1995. – 341, # 6. – S. 734–736.
8. Gorbachuk M. L., Shkli͡ar A. I͡A. O povedenii na beskonechnosti resheniĭ different͡sial'nykh uravneniĭ v gil'bertovom prostranstve // Tr. seminara im. I.G. Petrovsko-go. – 1996. – Vyp. 19. – S. 174–201.
9. Horbatenko I͡a.V. Erhodychnist′ rozvi͡azkiv abstraktnykh liniĭnykh dyferent͡sial′nykh rivni͡an′ druhoho pori͡adku v banakhovomu prostori // Dop. NAN Ukraïny – 2010. – # 9. – S. 10–19.
10. H.O. Fattorini, Second Order Linear Differential Equations in Banach Spaces. Amsterdam: Elsevier Science Publishers B.V., 1985, 314 p.
11. T.J. Xiao and J. Liang, “On complete second order linear differential equations in Banach spaces,” Pacific J. Math., vol. 142, is. 1, pp. 175–195, 1990.
12. Horbatenko I͡a.V. Rozvi͡aznist′ i syl′na korektnist′ zadachi Koshi dli͡a abstraktnykh liniĭnykh dyferent͡sial′nykh rivni͡an′ u banakhovykh prostorakh // Nauk. visti NTUU “KPI”. – 2010. – # 4. – S. 40–43.

Текст статтіРозмір
2014-4-4.pdf131.52 КБ