Пряма задача для блочних матриць типу Якобі, відповідних двовимірній дійсній проблемі моментів

Розглядається узагальнення на двовимірний випадок класичної проблеми моментів і спектральної теорії самоспряжених блочних матриць Якобі, добре відомих в одновимірному випадку. Скінченновимірна та нескінченновимірна проблеми моментів розв’язані Ю.М. Березанським із використанням розкладу за узагальненими власними векторами відповідно скінченної та нескінченної сімей комутуючих самоспряжених операторів. В класичному випадку ортогоналізується сім’я поліномів , відносно міри на дійсній вісі й оператор зсуву по набуває вигляду звичайної матриці Якобі. Ця матриця визначає різницеве рівняння. Розв’язання цього рівняння та отримання відповідних поліномів називатимемо прямою задачею, а побудову матриці – оберненою. У випадку цієї публікації ортогоналізується двохіндексна сім’я поліномів , відносно міри на дійсній площині. Для ортогоналізації насамперед слід вибрати порядок. В такому випадку ми маємо два оператори зсуву по і по Згідно з вибраним порядком ці оператори набувають вигляду блочних матриць типу Якобі певної структури. Основним результатом роботи є розв’язання прямої задачі, що полягає у розв’я¬зан¬¬ні системи двох блочних різницевих рівнянь, породжених блочними матрицями типу Якобі, тобто отримано відповідні поліноми, але вже по двох змінних. Коректність розв’язку гарантується знову методом Березанського роз¬кладу за узагальненими власними векторами пари комутуючих самоспряжених операторів. Побудови мають застосування у зв’язних, наприклад пружинних, маятниках на площині.

Рік видання: 
2014
Номер: 
4
УДК: 
517.9
С. 41–47., Бібліогр.: 13 назв.
Література: 

1. M.G. Krein, “On the general method of decomposition of positive defined kernels on elementary products”, Dokl. Acad. Nauk SSSR, vol. 53, no. 1, pp. 3—6, 1946.
2. M.G. Krein, “On Hermitian operators with directing functionals”, Zbirnyk prac’ Inst. Mat. AN USSR, no. 10, pp. 83—106, 1948.
3. N.I. Akhiezer, The Classical Moment Problem and Some Belated Questions in Analysis. New York: Hafner, 1965 (Rus. ed.: Moscow: Fizmatgiz, 1961).
4. Yu.M. Berezansky, “The expansions in eigenfunctions of partial difference equations of order two”, Trudy Moskov. Mat. Obshch., vol. 5, pp. 203—268, 1956.
5. Yu.M. Berezansky, “Expansions in Eigenfunctions of Self adjoint Operators”, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1968 (Rus. ed.: Kiev: Naukova Dumka, 1965).
6. Yu.M. Berezansky and Yu.G. Kondratiev, Spectral Methods in Infinite-Dimensional Analysis, Vols. 1. 2. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 1995 (Rus. ed.: Kiev: Naukova Dumka, 1988).
7. Yu.M. Berezansky and M.E. Dudkin, “The direct and inverce spectral problems for the block Jacobi type unitary matrices”, Methods Funct. Anal. Topology, vol. 11, no. 4, pp. 327—345, 2005.
8. Yu.M. Berezansky and M.E. Dudkin, “The complex moment problem and direct and inverse spectral problems for the block Jacobi type bounded normal matrices”, Ibid, vol. 12, no. 1, pp. 1—32, 2005.
9. A. Devinatz, “Integral representations of positive definite functions, II”, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 77, pp. 455— 480, 1954.
10. A. Devinatz, “Two parameter moment problems”, Duke Math. J., vol. 24, pp. 481— 498, 1957.
11. Козак В.І. Обернена спектральна задача для блочних матриць типу Якобі, відповідних дійсній двовимірній проблемі моментів // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2013. — № 4. — С. 73—76.
12. Yu.М. Berezansky et al., Functional Analysis, Vols. 1. 2. Basel, Boston, Berlin: Birkhauser Verlag, 1996 (Rus. ed.: Kiev: Vyshcha shkola, 1990).
13. P.K. Suetin, Orthogonal polynomials in Two Variables. Moskow: Nauka, 1988.

Список літератури у транслітерації: 

1. M.G. Krein, “On the general method of decomposition of positive defined kernels . on elementary products”, Dokl. Acad. Nauk SSSR, vol. 53, no. 1, pp. 3–6, 1946.
2. M.G. Krein, “On Hermitian operators with directing functionals”, Zbirnyk prac’ Inst. Mat. AN USSR, no. 10, pp. 83–106, 1948.
3. N.I. Akhiezer, The Classical Moment Problem and Some Belated Questions in Analysis. New York: Hafner, 1965 (Rus. ed.: Moscow: Fizmatgiz, 1961).
4. Yu.M. Berezansky, “The expansions in eigenfunctions of partial difference equations of order two”, Trudy Moskov. Mat. Obshch., vol. 5, pp. 203–268, 1956.
5. Yu.M. Berezansky, “Expansions in Eigenfunctions of Self adjoint Operators”, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1968 (Rus. ed.: Kiev: Naukova Dumka, 1965).
6. Yu.M. Berezansky and Yu.G. Kondratiev, Spectral Methods in Infinite-Dimensional Analysis, Vols. 1. 2. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 1995 (Rus. ed.: Kiev: Naukova Dumka, 1988).
7. Yu.M. Berezansky and M.E. Dudkin, “The direct and inverce spectral problems for the block Jacobi type unitary matrices”, Methods Funct. Anal. Topology, vol. 11, no. 4, pp. 327–345, 2005.
8. Yu.M. Berezansky and M.E. Dudkin, “The complex moment problem and direct and inverse spectral problems for the block Jacobi type bounded normal matrices”, Ibid, vol. 12, no. 1, pp. 1–32, 2005.
9. A. Devinatz, “Integral representations of positive definite functions, II”, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 77, pp. 455–480, 1954.
10. A. Devinatz, “Two parameter moment problems”, Duke Math. J., vol. 24, pp. 481– 498, 1957.
11. Kozak V.I. Obernena spektral′na zadacha dli͡a blochnykh matryt͡s′ typu I͡akobi vidpovidnykh diĭsniĭ dvovymirniĭ problemi momentiv // Naukovi Visti NTUU “KPI”. – 2013. – # 4. – S. 73–76.
12. Yu.М. Berezansky et al., Functional Analysis, Vols. 1. 2. Basel, Boston, Berlin: Birkhauser Verlag, 1996 (Rus. ed.: Kiev: Vyshcha shkola, 1990).
13. P.K. Suetin, Orthogonal polynomials in Two Variables. Moskow: Nauka, 1988.

Текст статтіРозмір
2014-4-8.pdf230.33 КБ