The Limit Theorems for Extreme Residuals in Linear Regression Model with Gaussian Stationary Noise

We consider linear regression model with continuous time and strongly dependent stationary Gaussian random noise. The behavior of normalized in some way extreme residuals, that are the maximum differences, or their absolute values, between the observations and the values of the regression function where instead of unknown parameter the least squares estimator is substituted. For linear regression model the conditions of weak convergence of normalized extreme residuals to double exponent curve are obtained which follows from the assumption of normality of random noise. In addition instead of unknown variance and the 2-nd spectral moment of Gaussian stationary noise the consistent estimators of indicated parameters are substituted in normalizing function. The variance estimator of noise generalizes the residual sum of squares of classical mathematical statistic and the 2-nd spectral moment estimator generalize Lindgren estimator. In the paper mathematical machinery of statistics of random processes and limit theorems for extremes of Gaussian stationary noise is used. New results obtained provide an opportunity to offer some non-traditional statistical tests for adequacy of the regression model.

Publication year: 
2013
Issue: 
4
УДК: 
519.21
С. 55—62. Бібліогр.: 12 назв.
References: 

1. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. — М.: Мир, 1980. — 455 с.
2. A.V. Ivanov, Asymptotic theory of nonlinear regression. Netherlands, Dordrecht: Kluwer Academic Publisher, 1997, 330 p.
3. Іванов О.В, Мацак І.К. Граничні теореми для екстремальних залишків у лінійній та нелінійній моделях регресії // Теорія ймовірностей та математична статистика. — 2012. — № 86. — С. 69—80.
4. B.V. Gnedenko, “Sur la distribution limit du terme maximum d’une serie aleatoire”, Ann. Math., vol. 44, no. 3, pp. 423—453, 1943.
5. Галамбош Я. Асимптотическая теория экстремальных порядковых статистик. — М.: Наука, 1984. — 303 с.
6. Лидбеттер М., Линдгрен Г., Ротсен Х. Экстремумы случайных последовательностей и процессов. — М.: Мир, 1989. — 392 с.
7. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. — М.: Мир, 1969. — 399 с.
8. U. Grenander and M. Rosenblatt, Statistical analysis of stationary time series. New York: Chelsea Pub. Co., 1984, 308 p.
9. Ибрагимов И.А., Розанов Ю.А. Гауссовские случайные процессы. — М.: Наука, 1970. — 384 с.
10. Іванов О.В., Савич І.М. μ -припустимість спектральної щільності сильнозалежного випадкового шуму в нелінійних моделях регресії // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2009. — № 1. — С. 143—148.
11. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. — М.: Наука, 1965. — 656 с.
12. G. Lindgren, “Spectral moment estimation by means of level crossings”, Biometrica, vol. 61, no. 3, pp. 401—418, 1974.

References [transliteration]: 

1. Seber Dzh. Lineĭnyĭ regressionnyĭ analiz. – M.: Mir, 1980. – 455 s.
2. A.V. Ivanov, Asymptotic theory of nonlinear regression. Netherlands, Dordrecht: Kluwer Academic Publisher, 1997, 330 p.
3. Ivanov O.V, Mat͡sak I.K. Hranychni teoremy dli͡a ekstremal′nykh zalyshkiv u liniĭniĭ ta neliniĭniĭ modeli͡akh rehresiï // Teorii͡a ĭmovirnosteĭ ta matematychna statystyka. – 2012. – # 86. – S. 69–80.
4. B.V. Gnedenko, “Sur la distribution limit du terme maximum d’une serie aleatoire”, Ann. Math., vol. 44, no. 3, pp. 423–453, 1943.
5. Galambosh I͡A. Asimptoticheskai͡a teorii͡a ėkstremal'nykh pori͡adkovykh statistik. – M.: Nauka, 1984. – 303 s.
6. Lidbetter M., Lindgren G., Rotsen Kh. Ėkstremumy sluchaĭnykh posledovatel'nosteĭ i prot͡sessov. – M.: Mir, 1989. – 392 s.
7. Kramer G., Lidbetter M. Stat͡sionarnye sluchaĭnye prot͡sessy. – M.: Mir, 1969. – 399 s.
8. U. Grenander, M. Rosenblatt, Statistical analysis of stationary time series. New York: Chelsea Pub. Co., 1984, 308 p.
9. Ibragimov I.A., Rozanov I͡U.A. Gaussovskie sluchaĭnye prot͡sessy. – M.: Nauka, 1970. – 384 s.
10. Ivanov O.V., Savych I.M. -prypustymist′ spektral′noï shchil′nosti syl′nozalez͡hnoho vypadkovoho shumu u neliniĭnykh modeli͡akh rehresiï // Naukovi visti NTUU “KPI”. – 2009. – # 1. – S. 143–148.
11. Gikhman I.I., Skorokhod A.V. Vvedenie v teorii͡u sluchaĭnykh prot͡sessov. – M.: Nauka, 1965. – 656 s.
12. G. Lindgren, “Spectral moment estimation by means of level crossings”, Biometrica, vol. 61, no. 3, pp. 401–418, 1974.

AttachmentSize
2013-4-9.pdf233.51 KB

Тематичні розділи журналу

,