Попередня групова класифікація одного класу узагальнених лінійних рівняннь Колмогорова

Одним із сучасних методів дослідження як лінійних, так і нелінійних диференціальних рівнянь із частинними похідними є теоретико-груповий метод, який дає можливість конструктивно будувати точні часткові класичні розв’язки тих рівнянь, які допускають нетривіальну групу симетрій. У цій статті розглядається один клас (2+1)-вимірних узагальнених лінійних рівнянь Колмогорова. Мета роботи — дослідити симетрійні властивості рівнянь з цього класу та застосувати їх для побудови інваріантних фундаментальних розв’язків. За алгоритмом Ахатова—Газізова—Ібрагімова проведено попередню групову класифікацію досліджуваного класу диференціальних рівнянь. Для отриманих рівнянь з нетривіальними симетрійними властивостями знайдено максимальні алгебри інваріантності. За алгоритмом Аксьонова обчислено алгебру інваріантності фундаментальних розв’язків лінійного рівняння Колмогорова, оператори якої були використані для побудови інваріантних фундаментальних розв’язків цього рівняння. Показано, що фундаментальний розв’язок, отриманий А.М. Колмогоровим, є інваріантним фундаментальним розв’язком лінійного рівняння Колмогорова.

Рік видання: 
2013
Номер: 
4
УДК: 
517.95
С. 67—72. Табл. 1. Бібліогр.: 13 назв.
Література: 

1. A.N. Kolmogoroff, “Zufallige Bewegungen (Zur Theorie der Brownischen Bewegung)”, Ann. Math., vol. 35, no. 2, pp. 116—117, 1934.
2. Спічак С.В., Стогній В.І., Копась І.М. Симетрійний аналіз і точні розв’язки лінійного рівняння Колмогорова // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2011. — № 4. — С. 93—97.
3. F. Finkel, “Symmetries of the Fokker—Planck equations with a constant diffusion matrix in 2+1 dimensions”, J. Phys. A: Math. Gen, vol. 32, pp. 2671—2684, 1999.
4. E.A. Saied, “On the silimarity solutions for the free Kramers equation”, Appl. Math. Comp., vol. 74, pp. 59— 63, 1996.
5. W.M. Shtelen and V.I. Stogny, “Symmetry properties of one- and two-dimensional Fokker—Planck equations”, J. Rhys. A: Math. Gen., vol. 22, pp. 539—543, 1989.
6. Лагно В.І., Стогній В.І. Симетрія і точні розв’язки двовимірного рівняння Фоккера—Планка із змінною матрицею дифузії // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2006. − № 1. — С. 132—138.
7. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 400 c.
8. Лагно В.І., Спічак С.В., Стогній В.І. Симетрійний аналіз рівнянь еволюційного типу. — К.: Ін-т математики НАН України, 2002. — 360 с.
9. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Нелокальные симметрии. Эвристический подход // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Нов. достиж.”. — М.: ВИНИТИ, 1989. — 34. — С. 3—83.
10. N.H. Ibragimov et al., “Preliminary group classification of equations ( , ) ( , ) tt x xx x v =f xv v +gxv ”, J. Math. Phys., vol. 32, no. 11, pp. 2988—2995, 1991.
11. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа // Новое в жизни, науке, технике. Сер. Математика, кибернетика. — М.: Знание, 1989. — № 8. — 44 с.
12. Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике // Успехи мат. наук. — 1992. — 47, вып. 4. — С. 83—144.
13. Аксенов А.В. Симметрии линейных уравнений с частными производными и фундаментальные решения // Доклады АН. — 1995. — 342, № 2. — С. 151—153.

Список літератури у транслітерації: 

1. A.N. Kolmogoroff, “Zufallige Bewegungen (Zur Theorie der Brownischen Bewegung)”, Ann. Math., vol. 35, no. 2, pp. 116–117, 1934.
2. Spichak S.V., Stohniĭ V.I., Kopas′ I.M. Symetriĭnyĭ analiz i tochni rozvi͡azky liniĭnoho rivni͡anni͡a Kolmohorova // Naukovi visti NTUU “KPI”. – 2011. – # 4. – S. 93–97.
3. F. Finkel, “Symmetries of the Fokker–Planck equations with a constant diffusion matrix in 2+1 dimensions”, J. Phys. A: Math. Gen, vol. 32, pp. 2671–2684, 1999.
4. E.A. Saied, “On the silimarity solutions for the free Kramers equation”, Appl. Math. Comp., vol. 74, pp. 59–63, 1996.
5. W.M. Shtelen and V.I. Stogny, “Symmetry properties of one- and two-dimensional Fokker–Planck equations”, J. Rhys. A: Math. Gen., vol. 22, pp. 539–543, 1989.
6. Lahno V.I., Stohniĭ V.I. Symetrii͡a i tochni rozvi͡azky dvovymirnoho rivni͡anni͡a Fokkera–Planka iz zminnoi͡u matryt͡sei͡u dyfuziï // Naukovi visti NTUU “KPI”. – 2006. − # 1. – S. 132–138.
7. Ovsi͡annikov L.V. Gruppovoĭ analiz different͡sial'nykh uravneniĭ. – M.: Nauka, 1978. – 400 s.
8. Lahno V.I., Spichak S.V., Stohniĭ V.I. Symetriĭnyĭ analiz rivni͡an′ evoli͡ut͡siĭnoho typu. – K.: In-t matematyky NAN Ukraïny, 2002. – 360 s.
9. Akhatov I.Sh., Gazizov R.K., Ibragimov N.Kh. Nelokal'nye simmetrii. Ėvristicheskiĭ podkhod // Itogi nauki i tekhn. Ser. Sovrem. probl. mat. Nov. dostizh.”. – M.: VINITI, 1989. – 34. – S. 3–83.
10. N.H. Ibragimov et al., “Preliminary group classification of equations ”, J. Math. Phys., vol. 32, no. 11, pp. 2988–2995, 1991.
11. Ibragimov N.Kh. Azbuka gruppovogo analiza // Novoe v zhizni, nauke, tekhnike. Ser. Matematika, kibernetika. – M.: Znanie, 1989. – № 8. – 44 s.
12. Ibragimov N.Kh. Gruppovoĭ analiz obyknovennykh different͡sial'nykh uravneniĭ i print͡sip invariantnosti v matematicheskoĭ fizike // Uspekhi mat. nauk. – 1992. – 47, vyp. 4. – S. 83–144.
13. Aksenov A.V. Simmetrii lineĭnykh uravneniĭ s chastnymi proizvodnymi i fundamental'nye reshenii͡a // Doklady AN. – 1995. – 342, № 2. – S. 151–153.

Текст статтіРозмір
2013-4-11.pdf230.08 КБ