Групова класифікація нелінійних рівнянь колмогорівського типу

Розглядаються нелінійні рівняння колмогорівського типу, в які входить довільна функція. Одним із методів розв’язування диференціальних рівнянь з частинними похідними є теоретико-груповий метод. За допомогою цього методу вдається проінтегрувати ті рівняння, які мають нетривіальну групу симетрії. Тому задача групової класифікації є актуальною. Проведено групову класифікацію нелінійних рівнянь колмогорівського типу. За допомогою знайдених неперервних перетворень еквівалентності виділені нееквівалентні підкласи цих рівнянь. Для всіх підкласів обчислені максимальні алгебри інваріантності. З використанням знайдених підалгебр алгебри інваріантності для деяких нелінійних рівнянь зроблено симетрійну редукцію до рівнянь з меншою кількістю незалежних змінних. Вдалося проінтегрувати редуковані рівняння та отримати точні розв’язки відповідних нелінійних рівнянь.

Рік видання: 
2013
Номер: 
4
УДК: 
517.95
С. 88—93. Табл. 1. Бібліогр.: 16 назв.
Література: 

1. G. Citti et al., “On the regularity of solutions to a nonlinear ultraparabolic equation arising in mathematical finance”, Differential and Integral Equations, vol. 14, no. 6, pp. 701—738, 2001.
2. A. Pascucci and S. Polidoro, “On the Cauchy problem for a nonlinear Kolmogorov equation”, SIAM J. Math. Anal., vol. 35, no. 3, pp. 579—595, 2003.
3. Овсянников Л.В. Групповые свойства уравнений нелинейной теплопроводности // Докл. АН СССР. — 1959. — 125, № 3. — С. 492—495.
4. Handbok of Lie Group Analysis of Differential Equations, N. Ibragimov, Ed. CRC Pres, 1994, vol. 1, 400 p.
5. Дородницын В.А., Князева И.В., Свирщевский С.Р. Групповые свойства уравнения теплопроводности с источником в двухмерном и трехмерном случаях // Диференц. уравнения. — 1983. — 19. — С. 1215—1223.
6. R. Cherniha and J.R. King, “Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction-diffusion systems: I”, J. Phys. A. Math. Gen., vol. 33, pp. 267—282, 2000.
7. R. Cherniha and J.R. King, “Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction-diffusion systems: II”, Ibid, vol. 36, pp. 405—425, 2003.
8. R. Cherniha and J.R. King, “Lie symmetries and conservation laws of non-linear multidimensional reaction-diffusion systems with variable diffusivities”, J. Appl. Math., vol. 71, pp. 391—408, 2006.
9. E. Demetriou et al., “Group analysis of (2+1)- and (3+1)- dimensional diffusion-convection equations”, J. Math. Anal. Appl., vol. 348, pp. 55—65, 2008.
10. Нікітін А.Г., Попович Р.О. Групова класифікація нелінійних рівнянь Шрьодінгера // Укр. мат. журн. — 2001. — 53, № 8. — С. 1053—1060.
11. A.G. Nikitin, “Group Classification of Systems of Non- Linear Reaction-Diffusion Equations”, Ukr. Math. Bull., vol. 2, no. 2, pp. 153—204, 2005.
12. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 400 c.
13. Лагно В.І., Спічак С.В., Стогній В.І. Симетрійний аналіз рівнянь еволюційного типу. — К.: Ін-т математики НАНУ, 2002. — 360 с.
14. R. Cherniha and M. Serov, Symmetries, ansдtze and exact solutions of nonlinear second-order evolution equations with convection terms // Euro J. Appl. Math., vol. 9, pp. 527—542, 1998.
15. R. Cherniha et al., “Lie symmetries and form-preserving transformations of reaction-diffusion-convection equations”, J. Math. Anal. Appl., vol. 342, pp. 1363—1379, 2008.
16. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения. — М.: Физматлит, 2002. — 432 с.

Список літератури у транслітерації: 

1. G. Citti et al., “On the regularity of solutions to a nonlinear ultraparabolic equation arising in mathematical finance”, Differential and Integral Equations, vol. 14, no. 6, pp. 701–738, 2001.
2. A. Pascucci and S. Polidoro, “On the Cauchy problem for a nonlinear Kolmogorov equation”, SIAM J. Math. Anal., vol. 35, no. 3, pp. 579–595, 2003.
3. Ovsi͡annikov L.V. Gruppovye svoĭstva uravneniĭ nelineĭnoĭ teploprovodnosti // Dokl. AN SSSR. – 1959. – 125, # 3. – S. 492–495.
4. Handbok of Lie Group Analysis of Differential Equations, N. Ibragimov, Ed. CRC Pres, 1994, vol. 1, 400 p.
5. Dorodnit͡syn V.A., Kni͡azeva I.V., Svirshchevskiĭ S.R. Gruppovye svoĭstva uravnenii͡a teploprovodnosti s istochnikom v dvukhmernom i trekhmernom sluchai͡akh // Diferent͡s. uravnenii͡a. – 1983. – 19. – S. 1215–1223.
6. R. Cherniha and J.R. King, “Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction-diffusion systems: I”, J. Phys. A. Math. Gen., vol. 33, pp. 267–282, 2000.
7. R. Cherniha and J.R. King, “Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction-diffusion systems: II”, Ibid, vol. 36, pp. 405–425, 2003.
8. R. Cherniha and J.R. King, “Lie symmetries and conservation laws of non-linear multidimensional reaction-diffusion systems with variable diffusivities”, J. Appl. Math., vol. 71, pp. 391–408, 2006.
9. E. Demetriou et al., “Group analysis of (2+1)- and (3+1)-dimensional diffusion-convection equations”, J. Math. Anal. Appl., vol. 348, pp. 55–65, 2008.
10. Nikitin A.H., Popovych R.O. Hrupova klasyfikat͡sii͡a neliniĭnykh rivni͡an′ Shr′odinhera // Ukr. mat. z͡hurn. – 2001. – 53, # 8. – S. 1053–1060.
11. A.G. Nikitin, “Group Classification of Systems of Non-Linear Reaction-Diffusion Equations”, Ukr. Math. Bull., vol. 2, no. 2, pp. 153–204, 2005.
12. Ovsi͡annikov L.V. Gruppovoĭ analiz different͡sial'nykh uravneniĭ. – M.: Nauka, 1978. – 400 c.
13. Lahno V.I., Spichak S.V., Stohniĭ V.I. Symetriĭnyĭ analiz rivni͡an′ evoli͡ut͡siĭnoho typu. – K.: In-t matematyky NANU, 2002. – 360 s.
14. R. Cherniha and M. Serov, Symmetries, ansätze and exact solutions of nonlinear second-order evolution equations with convection terms // Euro J. Appl. Math., vol. 9, pp. 527–542, 1998.
15. R. Cherniha et al., “Lie symmetries and form-preserving transformations of reaction-diffusion-convection equations”, J. Math. Anal. Appl., vol. 342, pp. 1363–1379, 2008.
16. Poli͡anin A.D., Zaĭt͡sev V.F. Spravochnik po nelineĭnym uravnenii͡am matematicheskoĭ fiziki: tochnye reshenii͡a. – M.: Fizmatlit, 2002. – 432 s.

Текст статтіРозмір
2013-4-15.pdf217.91 КБ