Прямая задача для блочных матриц типа Якоби, относящихся к двумерной действительной проблеме моментов

Рассматривается обобщение на двумерный случай классической проблемы моментов и спектральной теории само¬сопряженных блочных матриц Якоби, хорошо известных в одномерном случае. Конечномерная и бес¬ко¬нечномерная проблемы моментов решены Ю.М. Березанским с использованием разложения по обобщенным собственным векторам соответственно конечной и бесконечной семей коммутирующих самосопряженных операторов. В классическом случае ортогонализируется семья полиномов , относительно меры на действительной оси и оператор сдвига по принимает вид обычной матрицы Якоби. Эта матрица определяет разностное уравнение. Ре¬шение этого уравнения и получение соответствующих полиномов называют прямой задачей, а построение матрицы – обратной. В этой публикации ортогонализируется двухиндексная семья полиномов , относительно меры на действительной плоскости. Для ортогонализации прежде всего следует выбрать порядок. В таком случае мы имеем два оператора сдвига по и по . Согласно выбранному порядку эти операторы принимают вид блочных матриц типа Якоби определенной структуры. Основным результатом работы является решение обратной задачи, которое заключается в решении системы двух блочных разностных уравнений, порожденных блочными матрицами типа Якоби, т.е. в получении соответствующих полиномов, но уже по двум переменным. Корректность решения гарантируется вновь методом Березанского разложения по обобщенным собственным векторам пары коммутирующих самосопряженных операторов. Построения имеют применение в связных, например пружинных, маятниках на плоскости.

Год издания: 
2014
Номер: 
4
УДК: 
517.9
С. 41–47., Бібліогр.: 13 назв.
Литература: 

1. M.G. Krein, “On the general method of decomposition of positive defined kernels on elementary products”, Dokl. Acad. Nauk SSSR, vol. 53, no. 1, pp. 3—6, 1946.
2. M.G. Krein, “On Hermitian operators with directing functionals”, Zbirnyk prac’ Inst. Mat. AN USSR, no. 10, pp. 83—106, 1948.
3. N.I. Akhiezer, The Classical Moment Problem and Some Belated Questions in Analysis. New York: Hafner, 1965 (Rus. ed.: Moscow: Fizmatgiz, 1961).
4. Yu.M. Berezansky, “The expansions in eigenfunctions of partial difference equations of order two”, Trudy Moskov. Mat. Obshch., vol. 5, pp. 203—268, 1956.
5. Yu.M. Berezansky, “Expansions in Eigenfunctions of Self adjoint Operators”, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1968 (Rus. ed.: Kiev: Naukova Dumka, 1965).
6. Yu.M. Berezansky and Yu.G. Kondratiev, Spectral Methods in Infinite-Dimensional Analysis, Vols. 1. 2. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 1995 (Rus. ed.: Kiev: Naukova Dumka, 1988).
7. Yu.M. Berezansky and M.E. Dudkin, “The direct and inverce spectral problems for the block Jacobi type unitary matrices”, Methods Funct. Anal. Topology, vol. 11, no. 4, pp. 327—345, 2005.
8. Yu.M. Berezansky and M.E. Dudkin, “The complex moment problem and direct and inverse spectral problems for the block Jacobi type bounded normal matrices”, Ibid, vol. 12, no. 1, pp. 1—32, 2005.
9. A. Devinatz, “Integral representations of positive definite functions, II”, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 77, pp. 455— 480, 1954.
10. A. Devinatz, “Two parameter moment problems”, Duke Math. J., vol. 24, pp. 481— 498, 1957.
11. Козак В.І. Обернена спектральна задача для блочних матриць типу Якобі, відповідних дійсній двовимірній проблемі моментів // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2013. — № 4. — С. 73—76.
12. Yu.М. Berezansky et al., Functional Analysis, Vols. 1. 2. Basel, Boston, Berlin: Birkhauser Verlag, 1996 (Rus. ed.: Kiev: Vyshcha shkola, 1990).
13. P.K. Suetin, Orthogonal polynomials in Two Variables. Moskow: Nauka, 1988.

Транслитерированый список литературы: 

1. M.G. Krein, “On the general method of decomposition of positive defined kernels . on elementary products”, Dokl. Acad. Nauk SSSR, vol. 53, no. 1, pp. 3–6, 1946.
2. M.G. Krein, “On Hermitian operators with directing functionals”, Zbirnyk prac’ Inst. Mat. AN USSR, no. 10, pp. 83–106, 1948.
3. N.I. Akhiezer, The Classical Moment Problem and Some Belated Questions in Analysis. New York: Hafner, 1965 (Rus. ed.: Moscow: Fizmatgiz, 1961).
4. Yu.M. Berezansky, “The expansions in eigenfunctions of partial difference equations of order two”, Trudy Moskov. Mat. Obshch., vol. 5, pp. 203–268, 1956.
5. Yu.M. Berezansky, “Expansions in Eigenfunctions of Self adjoint Operators”, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1968 (Rus. ed.: Kiev: Naukova Dumka, 1965).
6. Yu.M. Berezansky and Yu.G. Kondratiev, Spectral Methods in Infinite-Dimensional Analysis, Vols. 1. 2. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 1995 (Rus. ed.: Kiev: Naukova Dumka, 1988).
7. Yu.M. Berezansky and M.E. Dudkin, “The direct and inverce spectral problems for the block Jacobi type unitary matrices”, Methods Funct. Anal. Topology, vol. 11, no. 4, pp. 327–345, 2005.
8. Yu.M. Berezansky and M.E. Dudkin, “The complex moment problem and direct and inverse spectral problems for the block Jacobi type bounded normal matrices”, Ibid, vol. 12, no. 1, pp. 1–32, 2005.
9. A. Devinatz, “Integral representations of positive definite functions, II”, Trans. Amer. Math. Soc., vol. 77, pp. 455–480, 1954.
10. A. Devinatz, “Two parameter moment problems”, Duke Math. J., vol. 24, pp. 481– 498, 1957.
11. Kozak V.I. Obernena spektral′na zadacha dli͡a blochnykh matryt͡s′ typu I͡akobi vidpovidnykh diĭsniĭ dvovymirniĭ problemi momentiv // Naukovi Visti NTUU “KPI”. – 2013. – # 4. – S. 73–76.
12. Yu.М. Berezansky et al., Functional Analysis, Vols. 1. 2. Basel, Boston, Berlin: Birkhauser Verlag, 1996 (Rus. ed.: Kiev: Vyshcha shkola, 1990).
13. P.K. Suetin, Orthogonal polynomials in Two Variables. Moskow: Nauka, 1988.

Полнотекстовый документSize
2014-4-8.pdf230.33 KB