Симметрийный анализ одного класа (2+1)-мерных линейных ультрапараболических уравнений

Методами группового анализа дифференциальных уравнений исследуется один класс (2+1)-мерных линейных ультрапараболических уравнений второго порядка, который включает в себя как частные случаи такие классические уравнения математической физики, как свободное уравнение Крамерса, линейное уравнение Колмогорова и т.п. Классификация симметрийных свойств дифференциальных уравнений из исследуемого класса проводится в рамках классического алгоритма Ли–Овсянникова. На первом этапе находится ядро максимальных алгебр инвариантности (МАИ) исследуемых дифференциальных уравнений. Доказывается, что оно трехмерное, а также формулируется теорема о “минимальной” МАИ дифференциального уравнения из исследуемого класса. На втором этапе находится группа преобразований эквивалентности класса уравнений. Сначала инфинитезимальным методом вычисляется группа непрерывных преобразований эквивалентности, которая далее дополняется до полной группы двумя дискретными преобразованиями. На третьем этапе в результате анализа системы определяющих уравнений формулируется теорема, которая дает необходимые условия расширения “минимальной” МАИ, а именно доказывается, что функциональный параметр, который входит в состав исследуемого класса дифференциальных уравнений, должен удовлетворять одному из двух уравнений Риккати. Рассмотрены три примера дифференциальных уравнений, которые удовлетворяют необходимым условиям расширения “минимальной” МАИ. Для всех уравнений найдены МАИ; показано, что среди рассмотренных примеров максимальными симметрийными свойствами владеет линейное уравнение Колмогорова.

Год издания: 
2014
Номер: 
4
УДК: 
517.958:512.816
С. 102–107.Бібліогр.: 14 назв.
Литература: 

1. A.N. Kolmogoroff, “Zur Theorie der stetigen zufallingen Prozesse”, Math. Ann., vol. 108, no. 1, pp. 149—160, 1933.
2. A.N. Kolmogoroff, “Zufallige Bewegungen (Zur Theorie der Brownischen Bewegung)”, Ann. Math., vol. 35, no. 2, pp. 116—117, 1934.
3. E. Barucci et al., “Some results on partial differential equations and Asian options”, Math. Models Methods Appl. Sci., vol. 11, pp. 475—497, 2001.
4. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. — М.: Мир, 1986. — 528 с.
5. Risken H. The Fokker—Planck equation. Berlin: Springer, 1989, 472 p.
6. W.M. Shtelen and V.I. Stogny, “Symmetry properties of oneand two-dimensional Fokker—Planck equations”, J. Phys. A: Math. Gen., vol. 22, pp. 539—543, 1989.
7. E.A. Saied, “On the similarity solutions for the free Kramers equation”, Appl. Math. Comp., vol. 74, pp. 59—63, 1996.
8. E. Lanconelli and S. Polidoro, “On a class of hypoelliptic evolution operators”, Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. Torino, vol. 52, pp. 29—63, 1994.
9. Спічак С.В., Стогній В.І., Копась І.М. Симетрійний аналіз і точні розв’язки лінійного рівняння Колмогорова // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. — 2011. — № 4. — С. 93—97.
10. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 400 c.
11. Лагно В.І., Спічак С.В., Стогній В.І. Симетрійний аналіз рівнянь еволюційного типу. — К.: Ін-т математики НАН України, 2002. — 360 с.
12. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Физматлит, 2001. — 576 с.
13. J.G. Kingston and C. Sophocleous, “On form-preserving point transformations of partial differential equations”, J. Phys. A: Math. Gen., vol. 31, pp. 1597—1619, 1998.
14. R.O. Popovych et al., “Admissible transformations and normalized classes of nonlinear Schrodinger equations”, Acta Appl. Math., vol. 109, pp. 315—359, 2010.

Транслитерированый список литературы: 

1. A.N. Kolmogoroff, “Zur Theorie der stetigen zufallingen Prozesse”, Math. Ann., vol. 108, no. 1, pp. 149–160, 1933.
2. A.N. Kolmogoroff, “Zufallige Bewegungen (Zur Theorie der Brownischen Bewegung)”, Ann. Math., vol. 35, no. 2, pp. 116–117, 1934.
3. E. Barucci et al., “Some results on partial differential equations and Asian options”, Math. Models Methods Appl. Sci., vol. 11, pp. 475–497, 2001.
4. Gardiner K.V. Stokhasticheskie metody v estestvennykh naukakh. – M.: Mir, 1986. – 528 s.
5. Risken H. The Fokker–Planck equation. Berlin: Springer, 1989, 472 p.
6. W.M. Shtelen and V.I. Stogny, “Symmetry properties of one- and two-dimensional Fokker–Planck equations”, J. Phys. A: Math. Gen., vol. 22, pp. 539–543, 1989.
7. E.A. Saied, “On the similarity solutions for the free Kramers equation”, Appl. Math. Comp., vol. 74, pp. 59–63, 1996.
8. E. Lanconelli and S. Polidoro, “On a class of hypoelliptic evolution operators”, Rend. Sem. Mat. Univ. Politec. Torino, vol. 52, pp. 29–63, 1994.
9. Spichak S.V., Stohniĭ V.I., Kopas′ I.M. Symetriĭnyĭ analiz i tochni rozvi͡azky liniĭnoho rivni͡anni͡a Kolmohorova // Naukovi visti NTUU “KPI”. – 2011. – # 4. – S. 93–97.
10. Ovsi͡annikov L.V. Gruppovoĭ analiz different͡sial'nykh uravneniĭ. – M.: Nauka, 1978. – 400 s.
11. Lagno V.I., Spichak S.V., Stohniĭ V.I. Symetriĭnyĭ analiz rivni͡an′ evoli͡ut͡siĭnoho typu. – K.: In-t matematyky NAN Ukraïny, 2002. – 360 s.
12. Zaĭt͡sev V.F., Poli͡anin A.D. Spravochnik po obyknovennym different͡sial'nym uravnenii͡am. – M.: Fizmatlit, 2001. – 576 s.
13. J.G. Kingston and C. Sophocleous, “On form-preserving point transformations of partial differential equations”, J. Phys. A: Math. Gen., vol. 31, pp. 1597–1619, 1998.
14. R.O. Popovych et al., “Admissible transformations and normalized classes of nonlinear Schrodinger equations”, Acta Appl. Math., vol. 109, pp. 315–359, 2010.

Полнотекстовый документSize
2014-4-17.pdf206.03 KB