Дудкін М.Є.

Дудкін Микола Євгенович, доктор фізико-математичних наук, доцент, в.о. завідувача кафедри Національного технічного університету України “Київський політехнічний інститут”.

Строго сингулярні збурення рангу один несиметричним потенціалом

Розглядаються побудова і задача на власні значення сильно сингулярно рангу один збуреного самоспряженого оператора несиметричним потенціалом. А саме: розглядаються збурення вигляду , де – самоспряжений напівобмежений оператор і , . Такі збурення мають застосування у теорії диференціальних рівнянь із аргументом, що має запізнення. Відповідні диференціальні рівняння є результатом моделі теорії керування, зокрема в електричних ланцюгах. Розгляд проводиться методами теорії операторів, зокрема з використанням теорії розширень щільно визначених симетричних операторів до самоспряжених.

Пряма задача для блочних матриць типу Якобі, відповідних двовимірній дійсній проблемі моментів

Розглядається узагальнення на двовимірний випадок класичної проблеми моментів і спектральної теорії самоспряжених блочних матриць Якобі, добре відомих в одновимірному випадку. Скінченновимірна та нескінченновимірна проблеми моментів розв’язані Ю.М. Березанським із використанням розкладу за узагальненими власними векторами відповідно скінченної та нескінченної сімей комутуючих самоспряжених операторів. В класичному випадку ортогоналізується сім’я поліномів , відносно міри на дійсній вісі й оператор зсуву по набуває вигляду звичайної матриці Якобі. Ця матриця визначає різницеве рівняння.

Спектральні властивості сингулярно збурених qs-нормальних операторів

Використовуючи опис сингулярно збурених рангу один qs-нормальних операторів, досліджено їх деякі спектральні властивості. А саме: побудовано сингулярно збурений qs-нормальний оператор із заданим наперед скінченим набором власних чисел і векторів. При побудові використано доведені раніше теореми про будову сингулярно збурених самоспряжених операторів із заданим наперед скінченим набором власних чисел і векторів. У цьому випадку власні числа розміщувалися на дійсній осі. Побудова велася покроково. Кожний наступний оператор був сингулярним збуренням рангодин відносно попереднього.

Обернена спектральна задача для блочних матриць типу Якобі в комплексній проблемі моментів у експоненціальній формі

Запропоновано аналог матриці Якобі, відповідний комплексній проблемі моментів у випадку експоненціальної форми і системи ортонормованих поліномів відносно деякої міри з компактним носієм на комплексній площині. Отримано пару матриць з блочною тридіагональною структурою, які діють в просторі двох індексних послідовностей як комутуючі самоспряжений і унітарний оператори. Випадки попередніх досліджень є частинними відносно описаного в роботі.