Стогній В.І.

Стогній Валерій Іванович, кандидат фізико-математичних наук, доцент Національного технічного університету України “Київський політехнічний інститут”.

Симетрійний аналіз одного класу (2+1)-вимірних лінійних ультрапараболічних рівнянь

Методами групового аналізу диференціальних рівнянь досліджується один клас (2+1)-вимірних лінійних ультрапараболічних рівнянь другого порядку, який включає в себе як частинні випадки такі класичні рівняння математичної фізики, як вільне рівняння Крамерса, лінійне рівняння Колмогорова тощо. Класифікація симетрійних властивостей диференціальних рівнянь із досліджуваного класу проводиться за класичним алгоритмом Лі–Овсяннікова. На першому кроці знаходиться ядро максимальних алгебр інваріантності (МАІ) досліджуваних диференціальних рівнянь.

Групова класифікація нелінійних рівнянь колмогорівського типу

Розглядаються нелінійні рівняння колмогорівського типу, в які входить довільна функція. Одним із методів розв’язування диференціальних рівнянь з частинними похідними є теоретико-груповий метод. За допомогою цього методу вдається проінтегрувати ті рівняння, які мають нетривіальну групу симетрії. Тому задача групової класифікації є актуальною. Проведено групову класифікацію нелінійних рівнянь колмогорівського типу. За допомогою знайдених неперервних перетворень еквівалентності виділені нееквівалентні підкласи цих рівнянь. Для всіх підкласів обчислені максимальні алгебри інваріантності.

Попередня групова класифікація одного класу узагальнених лінійних рівняннь Колмогорова

Одним із сучасних методів дослідження як лінійних, так і нелінійних диференціальних рівнянь із частинними похідними є теоретико-груповий метод, який дає можливість конструктивно будувати точні часткові класичні розв’язки тих рівнянь, які допускають нетривіальну групу симетрій. У цій статті розглядається один клас (2+1)-вимірних узагальнених лінійних рівнянь Колмогорова. Мета роботи — дослідити симетрійні властивості рівнянь з цього класу та застосувати їх для побудови інваріантних фундаментальних розв’язків.

Симетрійний аналіз і точні розв’язки лінійного рівняння Колмогорова

Досліджено симетрійні властивості лінійного рівняння Колмогорова і отримано максимальну алгебру інваріантності цього рівняння. Проведено класифікацію всіх двовимірних підалгебр алгебри інваріантності з точністю до дії перетворень її групи автоморфізмів. З використанням знайдених підалгебр здійснено симетрійну редукцію до звичайних диференціальних рівнянь та відокремлення змінних для даного рівняння. В деяких випадках вдалося проінтегрувати редуковані рівняння та отримати точні розв’язки лінійного рівняння Колмогорова.